Vamos punto por punto con la respuesta:

La optimización media-varianza es un marco de análisis propuesto por Harry Markowitz según el cual hay una relación directa entre riesgo (volatilidad o varianza) y rentabilidad. No obstante, dado un nivel de rentabilidad, se debería elegir la cartera que lo logra con menor riesgo. A esto se refiere la optimización media-varianza, a buscar las carteras de menor riesgo, dada una expectativa de rentabilidad.

Los elementos matemáticos con los que se determina este marco de análisis son los definidos en el notebook. Por un lado la rentabilidad de la cartera que se constituye como la rentabilidad de cada activo multiplicada por su peso. Por otro lado el riesgo (varianza) de la cartera, que se calcula matemáticamente teniendo en cuenta los pesos de cada activo y la matriz de covarianzas con la fórmula del notebook. De esta manera, se puede definir matemáticamente un problema de optimización que minimice la expresión de la varianza (dado o no un nivel de rentabilidad esperado, que es el target) sujeto a que los pesos deben sumar el 100%, es decir, invertimos todo nuestro capital. La solución de ese problema de optimización es la que figura en el texto del notebook y es lo que está implementado en el código.

Con respecto al argumento rowvar, cuando calculamos una matriz de covarianza normalmente tenemos varias observaciones temporales (retornos) correspondientes a varias series de datos distintas (activos financieros). Si tenemos nuestra matriz de retornos definida de tal manera que cada fila es un activo diferente, deberemos usar rowvar=True. Si cada columna es un activo diferente (como es nuestro caso) deberemos usar rowvar=False. Siempre que tengas dudas sobre un parámetro de una función, lo mejor es buscar la documentación, ya que es imposible recordar lo que hace cada parámetro de cada función de cada librería. Aquí puedes ver la documentación de numpy.cov: https://numpy.org/devdocs/reference/generated/numpy.cov.html.

La función block de numpy sirve para concatenar en un mismo ndarray los distintos ndarray que se han definido en la función. Te dejo también aquí el link a la documentación: https://numpy.org/doc/2.1/reference/generated/numpy.block.html.

Efectivamente, el modelo de Markowitz genera lo que se llama “frontera eficiente”, que son todas aquellas carteras (una para cada target de rentabilidad) que debería elegir un inversor, ya que son las que tienen menor volatilidad dado un nivel de rentabilidad. Si no se define un  target, se obtiene lo que se conoce como cartera de “mínima varianza” que es aquella cartera con menor riesgo de todas las posibles.

Vamos punto por punto con la respuesta:

La optimización media-varianza es un marco de análisis propuesto por Harry Markowitz según el cual hay una relación directa entre riesgo (volatilidad o varianza) y rentabilidad. No obstante, dado un nivel de rentabilidad, se debería elegir la cartera que lo logra con menor riesgo. A esto se refiere la optimización media-varianza, a buscar las carteras de menor riesgo, dada una expectativa de rentabilidad.

Los elementos matemáticos con los que se determina este marco de análisis son los definidos en el notebook. Por un lado la rentabilidad de la cartera que se constituye como la rentabilidad de cada activo multiplicada por su peso. Por otro lado el riesgo (varianza) de la cartera, que se calcula matemáticamente teniendo en cuenta los pesos de cada activo y la matriz de covarianzas con la fórmula del notebook. De esta manera, se puede definir matemáticamente un problema de optimización que minimice la expresión de la varianza (dado o no un nivel de rentabilidad esperado, que es el target) sujeto a que los pesos deben sumar el 100%, es decir, invertimos todo nuestro capital. La solución de ese problema de optimización es la que figura en el texto del notebook y es lo que está implementado en el código.

Con respecto al argumento rowvar, cuando calculamos una matriz de covarianza normalmente tenemos varias observaciones temporales (retornos) correspondientes a varias series de datos distintas (activos financieros). Si tenemos nuestra matriz de retornos definida de tal manera que cada fila es un activo diferente, deberemos usar rowvar=True. Si cada columna es un activo diferente (como es nuestro caso) deberemos usar rowvar=False. Siempre que tengas dudas sobre un parámetro de una función, lo mejor es buscar la documentación, ya que es imposible recordar lo que hace cada parámetro de cada función de cada librería. Aquí puedes ver la documentación de numpy.cov: https://numpy.org/devdocs/reference/generated/numpy.cov.html.

La función block de numpy sirve para concatenar en un mismo ndarray los distintos ndarray que se han definido en la función. Te dejo también aquí el link a la documentación: https://numpy.org/doc/2.1/reference/generated/numpy.block.html.

Efectivamente, el modelo de Markowitz genera lo que se llama “frontera eficiente”, que son todas aquellas carteras (una para cada target de rentabilidad) que debería elegir un inversor, ya que son las que tienen menor volatilidad dado un nivel de rentabilidad. Si no se define un  target, se obtiene lo que se conoce como cartera de “mínima varianza” que es aquella cartera con menor riesgo de todas.

Vamos punto por punto con la respuesta:

La optimización media-varianza es un marco de análisis propuesto por Harry Markowitz según el cual hay una relación directa entre riesgo (volatilidad o varianza) y rentabilidad. No obstante, dado un nivel de rentabilidad, se debería elegir la cartera que lo logra con menor riesgo. A esto se refiere la optimización media-varianza, a buscar las carteras de menor riesgo, dada una expectativa de rentabilidad.

Los elementos matemáticos con los que se determina este marco de análisis son los definidos en el notebook. Por un lado la rentabilidad de la cartera que se constituye como la rentabilidad de cada activo multiplicada por su peso. Por otro lado el riesgo (varianza) de la cartera, que se calcula matemáticamente teniendo en cuenta los pesos de cada activo y la matriz de covarianzas con la fórmula del notebook. De esta manera, se puede definir matemáticamente un problema de optimización que minimice la expresión de la varianza (dado o no un nivel de rentabilidad esperado, que es el target) sujeto a que los pesos deben sumar el 100%, es decir, invertimos todo nuestro capital. La solución de ese problema de optimización es la que figura en el texto del notebook y es lo que está implementado en el código.

Con respecto al argumento rowvar, cuando calculamos una matriz de covarianza normalmente tenemos varias observaciones temporales (retornos) correspondientes a varias series de datos distintas (activos financieros). Si tenemos nuestra matriz de retornos definida de tal manera que cada fila es un activo diferente, deberemos usar rowvar=True. Si cada columna es un activo diferente (como es nuestro caso) deberemos usar rowvar=False. Siempre que tengas dudas sobre un parámetro de una función, lo mejor es buscar la documentación, ya que es imposible recordar lo que hace cada parámetro de cada función de cada librería. Aquí puedes ver la documentación de numpy.cov.

La función block de numpy sirve para concatenar en un mismo ndarray los distintos ndarray que se han definido en la función. Te dejo también aquí el link a la documentación.

Efectivamente, el modelo de Markowitz genera lo que se llama “frontera eficiente”, que son todas aquellas carteras (una para cada target de rentabilidad) que debería elegir un inversor, ya que son las que tienen menor volatilidad dado un nivel de rentabilidad. Si no se define un  target, se obtiene lo que se conoce como cartera de “mínima varianza” que es aquella cartera con menor riesgo de todas.

Vamos punto por punto con la respuesta:

1. La optimización media-varianza es un marco de análisis propuesto por Harry Markowitz según el cual hay una relación directa entre riesgo (volatilidad o varianza) y rentabilidad. No obstante, dado un nivel de rentabilidad, se debería elegir la cartera que lo logra con menor riesgo. A esto se refiere la optimización media-varianza, a buscar las carteras de menor riesgo, dada una expectativa de rentabilidad.
2. Los elementos matemáticos con los que se determina este marco de análisis son los definidos en el notebook. Por un lado la rentabilidad de la cartera que se constituye como la rentabilidad de cada activo multiplicada por su peso. Por otro lado el riesgo (varianza) de la cartera, que se calcula matemáticamente teniendo en cuenta los pesos de cada activo y la matriz de covarianzas con la fórmula del notebook. De esta manera, se puede definir matemáticamente un problema de optimización que minimice la expresión de la varianza (dado o no un nivel de rentabilidad esperado, que es el target) sujeto a que los pesos deben sumar el 100%, es decir, invertimos todo nuestro capital. La solución de ese problema de optimización es la que figura en el texto del notebook y es lo que está implementado en el código.
3. Con respecto al argumento rowvar, cuando calculamos una matriz de covarianza normalmente tenemos varias observaciones temporales (retornos) correspondientes a varias series de datos distintas (activos financieros). Si tenemos nuestra matriz de retornos definida de tal manera que cada fila es un activo diferente, deberemos usar rowvar=True. Si cada columna es un activo diferente (como es nuestro caso) deberemos usar rowvar=False. Siempre que tengas dudas sobre un parámetro de una función, lo mejor es buscar la documentación, ya que es imposible recordar lo que hace cada parámetro de cada función de cada librería. Aquí puedes ver la documentación de numpy.cov: https://numpy.org/devdocs/reference/generated/numpy.cov.html.
4. La función block de numpy sirve para concatenar en un mismo ndarray los distintos ndarray que se han definido en la función. Te dejo también aquí el link a la documentación: https://numpy.org/doc/2.1/reference/generated/numpy.block.html.
5. Efectivamente, el modelo de Markowitz genera lo que se llama “frontera eficiente”, que son todas aquellas carteras (una para cada target de rentabilidad) que debería elegir un inversor, ya que son las que tienen menor volatilidad dado un nivel de rentabilidad. Si no se define un  target, se obtiene lo que se conoce como cartera de “mínima varianza” que es aquella cartera con menor riesgo de todas.

Vamos punto por punto con la respuesta:

1. La optimización media-varianza es un marco de análisis propuesto por Harry Markowitz según el cual hay una relación directa entre riesgo (volatilidad o varianza) y rentabilidad. No obstante, dado un nivel de rentabilidad, se debería elegir la cartera que lo logra con menor riesgo. A esto se refiere la optimización media-varianza, a buscar las carteras de menor riesgo, dada una expectativa de rentabilidad.
2. Los elementos matemáticos con los que se determina este marco de análisis son los definidos en el notebook. Por un lado la rentabilidad de la cartera que se constituye como la rentabilidad de cada activo multiplicada por su peso. Por otro lado el riesgo (varianza) de la cartera, que se calcula matemáticamente teniendo en cuenta los pesos de cada activo y la matriz de covarianzas con la fórmula del notebook. De esta manera, se puede definir matemáticamente un problema de optimización que minimice la expresión de la varianza (dado o no un nivel de rentabilidad esperado, que es el target) sujeto a que los pesos deben sumar el 100%, es decir, invertimos todo nuestro capital. La solución de ese problema de optimización es la que figura en el texto del notebook y es lo que está implementado en el código.
3. Con respecto al argumento rowvar, cuando calculamos una matriz de covarianza normalmente tenemos varias observaciones temporales (retornos) correspondientes a varias series de datos distintas (activos financieros). Si tenemos nuestra matriz de retornos definida de tal manera que cada fila es un activo diferente, deberemos usar rowvar=True. Si cada columna es un activo diferente (como es nuestro caso) deberemos usar rowvar=False. Siempre que tengas dudas sobre un parámetro de una función, lo mejor es buscar la documentación, ya que es imposible recordar lo que hace cada parámetro de cada función de cada librería. Aquí puedes ver la documentación de numpy.cov.
4. La función block de numpy sirve para concatenar en un mismo ndarray los distintos ndarray que se han definido en la función. Te dejo también aquí el link a la documentación.
5. Efectivamente, el modelo de Markowitz genera lo que se llama “frontera eficiente”, que son todas aquellas carteras (una para cada target de rentabilidad) que debería elegir un inversor, ya que son las que tienen menor volatilidad dado un nivel de rentabilidad. Si no se define un  target, se obtiene lo que se conoce como cartera de “mínima varianza” que es aquella cartera con menor riesgo de todas.

Vamos por partes con la respuesta.

1. La optimización media-varianza es un marco de trabajo en finanzas donde se entiende que carteras con más retorno medio, llevan asociada mayor varianza (riesgo). A partir de este punto, se buscan carteras que dado un nivel de riesgo, ofrezcan la máxima rentabilidad posible. Esto se presenta como un problema de optimización matemático, donde se intenta minimizar la varianza de la cartera (sujeta o no a un nivel de rentabilidad objetivo) de tal forma que los pesos asignados a los activos en la cartera sumen el 100%.
2. Respecto de la definición de los elementos, en este caso la varianza y retorno esperado de la cartera se definen así como derivación de los cálculos correspondientes en matemáticas financieras. La rentabilidad esperada de la cartera es la suma del peso de cada activo por su rentabilidad esperada. La varianza por su parte, puede ser difícil de ver en notación matricial, pero básicamente involucra los pesos de cada activo y la matriz de covarianza entre ellos.
3. Una vez se han definido así la varianza y retorno medios, la fórmula que se define como resultado del problema de optimización se puede tomar como algo dado (es el resultado que propuso Harry Markowitz a la hora de presentar el modelo). Y esa expresión es lo que se implementa en el código de debajo.
4. A la hora de calcular la covarianza (lo mismo con la correlación) tenemos varias series de datos (activos) con varias observaciones cada una (retornos). El argumento rowvar especifica si las series (activos) vienen representados por las filas (rowvar=True) o si por el contrario cada columna es un activo como es nuestro caso (rowvar=False). En todo caso, siempre es conveniente mirar la documentación de las librerías para revisar las dudas sobre parámetros. Esta sería la documentación de numpy.cov.
5. En este caso np.block es una forma de concatenar en un mismo ndarray los elementos que se pasan como argumentos. Te dejo aquí también la documentación aplicable a numpy.block.
6. Efectivamente, a la función de optimización se le puede pasar un target de rentabilidad o no. Si no se pasa un target de rentabilidad, se va a obtener lo que se conoce como “cartera de mínima varianza”; es decir, la cartera con menor riesgo que se puede obtener con los activos analizados. Si se ofrecen objetivos de rentabilidad, se obtendrá la cartera con menor riesgo que ofrece ese nivel de rentabilidad. Todas las carteras que satisfacen esa optimización para cada nivel de rentabilidad posible conforman lo que se conoce como “frontera eficiente” y son las únicas carteras que tiene sentido comprar bajo el modelo de Markowitz.

Voy a ir contestando una a una tus preguntas:

• Que son lambda y gamma?

En el modelo de optimización media-varianza, se trata de un problema de optimización con restricciones. Para resolverlo, se utilizan multiplicadores que permiten incorporar esas restricciones en el cálculo que son λ y γ.

• λ (lambda) es el multiplicador asociado a la restricción del retorno objetivo del portafolio.
• γ (gamma) es el multiplicador asociado a la restricción de que los pesos sumen 1, es decir, que el total del capital esté invertido.

Estos valores ayudan a resolver el sistema matemático que nos da los pesos óptimos del portafolio, aunque no se usan directamente para construir la cartera.

•  Que es mu en la segunda restriccion (se multiplica por el vector de pesos traspuesto) No deberia llevar el indice sub i?. Que es mu sub p?

En la notación vectorial:

μ (mu) representa el vector de retornos esperados de los activos.
La segunda restricción del modelo es que el retorno esperado del portafolio sea igual a un valor objetivo (μₚ). Esta restricción se escribe como:

μ^T*w=μₚ

En esta forma vectorial no es necesario usar subíndices, porque la notación ya implica que se trata del producto escalar entre dos vectores. Si se descompone de forma más detallada, entonces sí habría que utilizar los subíndices.

• Que es A y por que se construye asi? Que es b?

Sin entrar en mucho detalle matemático, lo que se hace es construir una función llamada Lagrangiana, que incluye la función objetivo (el riesgo) y las dos restricciones. Para resolverla, se derivan las condiciones respecto a las variables involucradas: los pesos del portafolio (w), y dos multiplicadores auxiliares (lambda y gamma) que actúan como “potenciadores” de las restricciones.

Esas tres derivadas generan tres ecuaciones que forman las tres filas de la matriz A. Por eso A combina:

• La información sobre el riesgo (la matriz de covarianza)
• La información de los retornos esperados (mu) Y un vector de unos (para la suma de pesos).

El vector b, por su parte, es el lado derecho del sistema de ecuaciones, conocido como el término independiente en la expresión Ax=b. En este caso, b incluye:

• Unos ceros correspondientes a la derivada del riesgo (porque queremos minimizarlo)
• El valor objetivo del retorno del portafolio (mu_p)
• Y un 1, que representa que queremos que los pesos sumen 1.

• Puedes explicar en detalle las siguientes dos lineas de codigo? solucion – np.linalg.solve(A,b) pesos = solucion[:len(retornos esperados)]

Aquí np.linalg.solve(A,b) es la forma que nos da python de resolver los sistemas de ecuaciones lineales con la expresión Ax = b que vimos antes. En este caso nuestro “x” es w, lambda y gamma. Por tanto, la parte de solucion[:len(retornos esperados)] es para solo quedarnos con la parte de “w” que son los pesos.

Al final, esta parte es también conocer de antemano la matemática detrás de esto, que se sale un poco del scope del curso. Lo importante es que te quedes con la idea general y con las funciones ubicadas por si las pudieras necesitar en un futuro. Aún así, espero que te haya quedado más claro!

Que son lambda y gamma? Que es mu en la segunda restriccion (se multiplica por el vector de pesos traspuesto) No deberia llevar el indice sub i?. Que es mu sub p?

En el codigo:

Que es A y por que se construye asi?

Que es b?

Puedes explicar en detalle las siguientes dos lineas de codigo?

solucion – np.linalg.solve(A,b)

pesos = solucion[:len(retornos esperados)]

Respuesta por parte de Rubén:

La optimización media-varianza es un marco de análisis propuesto por Harry Markowitz según el cual hay una relación directa entre riesgo (volatilidad o varianza) y rentabilidad. No obstante, dado un nivel de rentabilidad, se debería elegir la cartera que lo logra con menor riesgo. A esto se refiere la optimización media-varianza, a buscar las carteras de menor riesgo, dada una expectativa de rentabilidad.
Los elementos matemáticos con los que se determina este marco de análisis son los definidos en el notebook. Por un lado la rentabilidad de la cartera que se constituye como la rentabilidad de cada activo multiplicada por su peso. Por otro lado el riesgo (varianza) de la cartera, que se calcula matemáticamente teniendo en cuenta los pesos de cada activo y la matriz de covarianzas con la fórmula del notebook. De esta manera, se puede definir matemáticamente un problema de optimización que minimice la expresión de la varianza (dado o no un nivel de rentabilidad esperado, que es el target) sujeto a que los pesos deben sumar el 100%, es decir, invertimos todo nuestro capital. La solución de ese problema de optimización es la que figura en el texto del notebook y es lo que está implementado en el código.
Con respecto al argumento rowvar, cuando calculamos una matriz de covarianza normalmente tenemos varias observaciones temporales (retornos) correspondientes a varias series de datos distintas (activos financieros). Si tenemos nuestra matriz de retornos definida de tal manera que cada fila es un activo diferente, deberemos usar rowvar=True. Si cada columna es un activo diferente (como es nuestro caso) deberemos usar rowvar=False. Siempre que tengas dudas sobre un parámetro de una función, lo mejor es buscar la documentación, ya que es imposible recordar lo que hace cada parámetro de cada función de cada librería. Aquí puedes ver la documentación de numpy.cov.
La función block de numpy sirve para concatenar en un mismo ndarray los distintos ndarray que se han definido en la función. Te dejo también aquí el link a la documentación.
Efectivamente, el modelo de Markowitz genera lo que se llama “frontera eficiente”, que son todas aquellas carteras (una para cada target de rentabilidad) que debería elegir un inversor, ya que son las que tienen menor volatilidad dado un nivel de rentabilidad. Si no se define un  target, se obtiene lo que se conoce como cartera de “mínima varianza” que es aquella cartera con menor riesgo de todas.